воскресенье, 15 мая 2016 г.

Задача №17 из ЕГЭ-профильный - это не только банковские расчёты


  Задачи №17 из сборника И.В.Ященко «Типовые экзаменационные задания» по математике, ЕГЭ-профильный уровень, разнообразны по содержанию и методике их решения. Показательной в этом плане является задача из варианта №23

  
   Проанализируем условие задачи, разберёмся с понятием человеко-часы

1 область
2 область

1+Н2+А12), кг
1+0,5*Н2+0,5*А12), чел.час
Max((Н1+0,5*Н2+0,5*А12)), чел.час=60*5+100*5=800чч


сплав
Н1, кг
Н2, кг
никель
Н1, человекочасов
0.5*Н2, человекочасов
А1,кг
А2,кг
алюминий
0.5* А1,челчас
А2,челчас
Мах(Н1+0.5*А1)=60*5=300ч
Мах(0.5*Н2+А2)=100*5=500ч


   Решеить эту задачу можно без сложных выкладок и сложных уравнений - рассуждаем логически. Из условия задачи следует, что в первой области технологически лучше добывают алюминий, чем никель, человеко-часов на производство 1 кг алюминия в 2 раза меньше, чем для добычи никеля, тогда разумно 1) все человеко-часы в первой области потратить на добычу алюминия, т.е. 300 ч.ч., а значит добудут 2) 6оо кг алюминия в 1 области. Помним, что для сплава никеля надо в 2 раза меньше, а значит 3) 300 кг, во второй области , где будут добывать этот никель, необходимо для сплава с 600 кг алюминия; 4) для этого понадобится 150 ч.ч. (300:2); 5) Максимальное количество человеко-часов второй области - 500, тогда 500-150=350ч.ч. 6) Оставшиеся человеко-часы 2 области 350 ч.ч. потратим на добычу алюминия и никеля в пропорции 2:1 соответстенно, помним, что на добычу 2 кг никеля в этой области необходимо 1 ч.ч., составим уравнение
       пусть а кг никеля ещё надо произвести, тогда алюминия 2*а, выразим человеко-часы
для никеля а/2 ч.ч., для алюминия 2*а. получим
2*а+а/2=350, отсюда а=140(кг) никеля, алюминия 280, вместе 420 кг сплава плюс 900(300+600) кг, ответ 1320 кг сплава максимально можно получить!

пятница, 13 мая 2016 г.

Задача №17 из сборника "Типовые экзаменационные варианты" под редакцией И.В. Ященко

 Такого типа задачи решаются по одному алгоритму. Примем следующие обозначения:
  S  - сумма, которая берётся в кредит
  r  - банковский процент, k =1+r/100 - это коэффициент, на который умножается сумма долга при начислении процентов r
x1, x2, x3 ...- выплаты кредитора в назначенный период
 Т.к. по условию задачи долг должен быть меньше на одну и ту же величину с предидущим месяцем, тогда долг с первого месяца по последний  можно выразить так:
S,  23*S/24,  22*S/24,  21*S/24 ... 3*S/24,  2*S/24,  S/24,  0   (на S/24 становится меньше)
Составим уравнение из условия задачи: "... в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339000 рублей", т.е. 
Х13+Х14+Х15...+Х24=339000



Ответим на вопрос задачи - Сколько необходимо заплатить банку за первый год: 
Х1+Х2+Х3...+Х12=? 


среда, 4 мая 2016 г.

Вариант №7, задача №14




А)  Воспользуемся тем, что, если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то это прямоугольный треугольник
 SD2=AS2+AD2, 57=21+62
SB2= AS2+AB2, 85=21+82
Таким образом AS перпендикуляр к плоскости  ABC


Задача по стереометрии из сборника заданий по математике ЕГЭ-профильный уровень, 2016

     Это задача из 9 варианта сборника типовых экзаменационных заданий по математике под редакцией И.В. Ященко. В варианте 10 №14 похожая задача, как и много других, где перекликаются одинаковые идеи.
    Решение
а) Построим прямую пересечения плоскостей АВ1Д и АВС
 1. Продлим В1Д и АС1 (рисунок1)
  2. Точка пересечения этих прямых - точка М принадлежит как плоскости АВС1 (нижней грани), так и плоскости сечения АВ1Д, тоже можно сказать про точку А, значит искомые плоскости  пересекаются по прямой АМ (рисунок 2)
б) Найдём угол между плоскостями АВС1 и АВ1Д
  1. Построим линейный угол данного двугранного угла с ребром АМ
       Из точки В проведём перпендикуляр к прямой  АМ, обозначим ВN.
       В1N принадлежит плоскости сечения, по теореме о трёх перпендикулярах  В1N перпендикулярна АМ (ВВ1 перпендикуляр к плоскости  АВС1, В1N - наклонная , ВN - проекция, АМ прямая, проходящая через основание наклонной)
Тогда по определению угол ВNB1 - линейный угол данного двугранного угла (рисунок 3)
2. Из прямоугольного треугольника BNB1 найдём тангенс угла BNB1.
   По условию ВВ1=2, BN - высота  треугольника АВМ, тогда ВN=2*S/AM, где S - площадь треугольника АВМ  
  Необходимо найти ВМ и АМ треугольника АВМ
  Найдём ВМ из треугольника ВВ1М ( рисунок 4)

Изображённые треугольники подобны, тогда составим пропорцию
ВВ1/ДС1=ВМ/МС1 или 2/1=(5+x)/x, решаем и получаем х=5, тогда ВМ=10
АМ треугольника АВМ найдём, используя теорему косинусов
АМ2=АВ2+ВМ2-2*АВ*ВМ*СOS(60)
АМ=5*V3 (здесь V3 -корень квадратный из 3)
Итак, ВN=2*S/AM=2*1/2*АВ*ВМ*SIN(60)/5*V3=5

тангенс угла BNB1 = BB1/BN=2/5
ОТВЕТ: argtg(2/5)