Задания школьного этапа

Всероссийской олимпиады школьников по математике

6 класс, 2017 год

1.  1)   Петя, Вася и Толя – три брата. Известно, что Вася в 2 раза старше Пети, Толя в 5 раз старше Пети, и Вася на 6 лет младше Толи. Сколько лет каждому из братьев?

2. 2)    Запишите числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 в строку так, чтобы из любых двух соседних чисел одно делилось бы на другое.

3.    3) Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.

4.   4)  Как разрезать квадрат на семь треугольников, среди которых есть шесть одинаковых?

5.   5)  На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. Встретились три островитянина: Петя, Вася и Толя. Петя сказал: "Мы все лжецы". Вася на это ему ответил: "Нет, только ты". Может ли Толя быть лжецом?

Задания школьного этапа

Всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс, 2017 год

1. 1)Известно, что a² + b = b² + c = c² + a.                                                                                         Какие значения  может принимать выражение  a(a²−b²)+b(b²−c²)+c(c²−a²)?

2.2) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. На стороне AB выбрана точка P, а на продолжении стороны AC за точку C — точка Q так, что отрезок PQ касается окружности.  Докажите, что ∠BOP = ∠COQ.

3.3) Из Златоуста в Миасс выехали одновременно «ГАЗ», «МАЗ» и «КамАЗ». «КамАЗ», доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил «МАЗ» в 18 км, а «ГАЗ» — в 25 км от Миасса. «МАЗ», доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил «ГАЗ»

в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?

4) Квадрат ABCD и равнобедренный прямоугольный треугольник AEF (∠AEF = 90^◦) расположены так, что  точка E лежит на отрезке BC (см. рисунок). Найдите угол DCF.

5.5) В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, . . . , 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири — целое число килограммов?

Ответы, 6 класс

1.1)     Ответ. Пете 2 года, Васе 4 года, Толе 10 лет. Решение. Разница в возрасте Толи и Васи составляет 3 возраста Пети. Значит, Пете 2 года. Тогда Васе 4 года, а Толе – 10 лет.

2. 2)    Ответ. Например: 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1.

3. 3)    Ответ. Мышь – 140г, сыр – 10г, мышонок – 30г. Решение. Из условия следует, что удвоенный вес мыши равен 180 + 100 = 280г. Поэтому вес мыши равен 140г. Тогда мышонок и сыр вместе весят 180 – 140 = 40г. А вес сыра, согласно условию, равен четверти этого веса.

5.     5) Ответ. Не может.

Решение. Если Толя лжец, то и Вася лжец. Но тогда Петя не может быть ни лжецом (так как он тогда бы сказал правду), ни рыцарем (так как он тогда бы солгал). Значит, Толя не может быть лжецом.

Ответы, 9 класс

11). Известно, что a² + b = b² + c = c² + a. Какие значения  может принимать выражение  a(a²−b²)+b(b²−c²)+c(c²−a²)?

Ответ:0

Решение:из условия следует, чтоa² − b² = c − b, b² − c² = a − c и c² − a² = b − a. Следовательно, a(a²−b²)+b(b²−c²)+c(c²−a²)= a(c − b) + b(a − c) + c(b − a) = 0.

2)2)

В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. На стороне

  угле (см. рисунок), получим 

3-3). Из Златоуста в Миасс выехали одновременно «ГАЗ», «МАЗ»и «КамАЗ». «КамАЗ», доехав до Миасса, сразу повернул назади встретил «МАЗ» в 18 км, а «ГАЗ» — в 25 км от Миасса. «МАЗ»,доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил «ГАЗ»

в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?

Ответ: 60 км.

4-

4. ) Ответ: 45⁰.

5. -5)Ответ: 6 чисел.